Siebter Schritt zur Quadratur

Der Satz des Thales und die Vollendung der Quadratur.

Der ermittelte Schnittpunkt oben links, ist genau die Stelle, an welcher der 90°-Winkel nach der Regel des Thales anliegt. Im Halbkreis ist dies immer ein exakter 90°-Winkel, gleichgültig wo am Kreisbogen des Halbkreises man diesen platziert.
Dies zu wissen ist ganz wichtig und zwar deshalb, weil damit automatisch der Beweis erbracht ist, dass ein derart konstruiertes Quadrat -immer! vier exakte, Rechte Winkel haben wird.

Dort, wo die Quadratseiten die Finger berühren, hat da Vinci die „Zeige“-Fingergelenke leicht abgeknickt eingezeichnet -ein wenig nur, aber so offensichtlich, dass es kaum Zweifel für den Grund dafür geben dürfte.

Nun, ganz entscheidend zum Verständnis dieser Geometrie ist aber ein wichtiges Detail: Der Schnittpunkt, an dem der 90°-Winkel anliegt, ist nicht identisch mit dem Schnittpunkt, den wir dort oben links sehen!
Die Ecke des (roten) Quadrates liegt natürlich am Kreisbogen an, aber die senkrechte Quadratseite geht nicht gleichsam durch diesen hindurch. Der Abstand beträgt o,1mm. Die Strichstärke der Linien auf dem Blatt beträgt durchschnittlich 0,3mm.
Dass dieser Schnittpunkt nicht Eins ist, konnte erst durch den Einsatz von Planungssoftware erkannt werden.

Entscheidend für diese (endgültige) Variante der Quadratur ist also nur die Positionierung der oberen Quadratseite. Deren Position, vermessen mit dem Abstand zur Grundseite, dort, wo die Füße stehen, ergibt die Seitenlänge des Quadrates, welches da Vinci eingezeichnet hat.
Das bedeutet aber auch, dass die Suche nach einem geometrischen Verhältnis zwischen Kreisdurchmesser oder Kreisradius, in Bezug zur Quadratseitenlänge -hier gar keine Relevanz hat!

Fazit: Das Ergebnis und die Genauigkeit dieser Quadratur ist überwältigend!
Die Quadratseitenlänge in Originalgröße der Zeichnung ist nur um rund 0,00007 Millimeter (7-Hunderttausendstel!) kürzer, als die einer exakten Quadratur.
Und das ermittelt zu einer Zeit, zu der weder die Kreiszahl π mit mehr als zwei Nachkommastellen abgesichert bekannt war, noch Berechnungen derart möglich waren, wie sie für uns heute zur Verfügung stehen.

Für Leonardo da Vinci war es seinerzeit also unmöglich, dieses Ergebnis zu berechnen, sondern er hat anhand der Struktur und der Position der Schnittpunkte erkannt, wo die entsprechenden Punkte einer Quadratur liegen müssten!
Das funktioniert über eine Art „Backward-Planning“, indem man die Quadratur pro forma einzeichnet und schaut, in welchen Arealen innerhalb der Geometrie immer die gleichen, aber entscheidenden Schnittpunkte liegen…

Das macht ein Genie aus!

Es ist schon irgendwie unfassbar, wie nah Leonardo da Vinci an die Quadratur des Kreises herangekommen ist. Am 29. November 1504 hat er die erfolgreiche Quadrierung in einer Notiz festgehalten (Codex Madrid II, Fol. 112 a).
Ungefähr vier Jahre später notiert er folgendes (entnommen aus: „Ich aber quadriere den Kreis…“; Klaus Schröer/Klaus Irle; 2017 BoD, Norderstedt):

„Archimedes hat zwar die Quadratur einer vielseitigen Figur gegeben, aber nicht die des Kreises. Archimedes quadriert also nie eine Figur mit gekrümmten Seiten. Ich aber quadriere den Kreis, abzüglich des kleinsten Teils, den der Verstand sich vorstellen kann, d. h. des sichtbaren Punktes.“                                                     (Codex Windsor 12280 r) 

Die Größe „des sichtbaren Punktes“, den der Verstand sich vorstellen kann“, beträgt für die Zeichnung da Vincis und umgerechnet auf dessen Kreisfläche (..denn jeder Punkt, so klein er auch sein mag, ist immer eine Kreisfläche):

0,0001358… mm²,
das ist ein Kreisinhalt von rund
1,36-Zehntausendstel-mm²