Die Quadratur des Da-Vinci-Kreises (2/3)

Spätestens seit Lindemann im Jahr 1882 beweisen konnte, dass die Quadratur eines Kreises mit Zirkel und Lineal ohne Einteilung -zweidimensional ausgeführt- mathematisch ausgeschlossen war, erübrigt sich jeder weitere Versuch, danach zu suchen. Da Vinci aber -und die Gelehrten der Mathematik und Geometrie seit der Antike- mussten und konnten davon ausgehen, dass es möglich war, diese bekanntermaßen extrem schwierige Aufgabe lösen zu können.

Leonardo da Vinci macht nun etwas Außergewöhnliches, ja, wirklich Geniales, um die Ausgangsbasis seiner geometrischen Analyse zu schaffen: Sein Grundgedanke zur Lösung der Quadratur besteht darin, das geometrische Extrakt aller beteiligten Geometrien und Gesetzmäßigkeiten zu finden. Denn nur so, dass ist die Hoffnung dahinter, muss sich zwangsläufig eine, ja -vielleicht die einzig mögliche- Konstellation ergeben, die schließlich zur Quadratur führt.

Schritt 1: Um immer ein exaktes Quadrat zu erhalten, braucht er den Satz des Thales*. Das sichert nicht nur ihm selbst den sehr wichtigen 90°-Winkel im Halbkreis, sondern beweist strikt, dass es auch ein exakter 90°-Winkel ist! Nur über diese Konstruktion konnten Zweifler „beruhigt“ werden…, dass das Quadrat auch 100%-ig „quadratisch“ ist. 

Was in dieser Konstellation aber nicht unbedingt bekannt ist, ist, dass damit gleichzeitig die 45°-Winkelhalbierende und die 22,5°-Viertelung des Winkels immer! auf der gegenüberliegenden Seite zu unveränderlichen Schnittpunkten** auf dem Kreisraduis führt. Das ist einmal der 45°-Schnittpunkt auf der Mittelhorizontalen. Auf den Diagonalen bei 22,5° und 67,5° sind das gleichzeitig aber auch die dem 90°-Winkel gegenüberliegenden Ecken des Innenquadrates des Ausgangskreises.

Schritt 2: Um die Quadratur „einzukreisen“, konstruiert er zu diesem Ausgangskreis das Innenquadrat. Das Innenquadrat wiederum hat seinen Innenkreis. Zwischen Innenkreis und dem Ausgangskreis liegt der „Mittelkreis“, der über die Diagonalen ausgezirkelt wird. Der Mittelkreis ist quasi die erste „Reduktion“ innerhalb dieser Geometrie -und liefert später die entscheidenden Schnittpunkte.

Schritt 3: Da Vinci verwendet den Goldenen Schnitt. Dieser „reduziert und konzentriert“ wiederum dadurch, dass er ein Streckenverhältnis in einem einzigen Punkt zusammenfasst. Da Vinci macht das mit dem Ausgangskreis und erhält dadurch um den Mittelpunkt herum einen kleinen Kreis, der den Goldenen Schnitt widerspiegelt.

Dies zusammengenommen ergibt nun eine geometrische Konstellation aus Ausgangskreis, dessen Innenquadrat und Innenkreis, der Gesetzmäßigkeit des Thales-Halbkreises sowie aus dem Mittelkreis und dem Goldenen Schnitt. Das alles wird nun komplettiert und verknüpft mit den jeweils acht Tangenten der involvierten Kreise. Aus ganz bestimmten Schnittpunkten, die sich aus dieser Konstellation ergeben, entstehen Verbindungslinien, die schließlich genau zu dem einen, einzigen Schnittpunkt führen, an dem schließlich der 90°-Winkel am Ausgangskreis anliegen wird.

Das Quadrat, welches wir heute in der Zeichnung sehen, ist im Grunde nur zur Vervollständigung als Ganzes eingezeichnet worden. Entscheidend für die Quadratur des Kreises ist nur die obere Grundseite dieses Quadrates. 

*Der Satz des Thales besagt, dass ein Dreieck, dessen Endpunkte auf einem Kreisbogen liegen und dessen längste Seite der Durchmesser des Kreises ist, dies immer ein rechtwinkliges Dreieck ergibt. Der Winkel entlang des Kreisbogens ist also immer ein 90°-Winkel.

**Bei unveränderlichen Schnittpunkten in diesem Zusammenhang ist es gleichgültig, wo sich der 90°-Winkel auf dem Ausgangskreis befindet -die maßgeblichen Verbindungslinien gehen immer durch diese hindurch.