Die Quadratur des Da-Vinci-Kreises (3/3)

 Typischerweise geht man davon aus, dass das von da Vinci eingezeichnete Quadrat zur Ausgangsgeometrie gehört. Davon bin auch ich in den Jahren der Analyse ausgegangen. Denn das Größenverhältnis zwischen Kreis und Quadrat musste doch den Kern dieser geometrischen Konstellation bilden -oder etwa nicht?

Es hat viele Vermessungen* gebraucht, um das Größenverhältnis zu bestimmen. Schließlich sollte es doch eine Gesetzmäßigkeit geben, die sich aus dieser sehr speziellen Konstellation ergibt. Im Prinzip gibt es diese auch, aber damit kommt man schlussendlich nicht weit.

Tatsächlich ist es so, dass das Grundquadrat, welches da Vinci eingezeichnet hat, erst „nachträglich“ komplettiert wurde. Denn maßgeblich sind nur die Grundseite und die obere Quadratseite. Die obere Seite enthält alle geometrischen Informationen. Die Seiten links und rechts komplettieren das Quadrat abschließend nur.

Die senkrechten Seiten des Quadrates durchschreiten zwar den Kreisbogen auf ihre typische Art, aber die Position des 90°-Winkels ist nicht identisch mit dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Quadrat! Die Spitze des Winkels liegt auf dem Kreisbogen -aber eben ein klein wenig rechts und über der senkrechten Qaudratseite. Man sieht es in der Zeichnung von da Vinci aufgrund der Strichstärke (o,3-o,4mm) dort nur nicht. Der Abstand zwischen der Ecke des 90°-Winkels und der Senkrechten beträgt heutige 0,1 mm. Das ist auch der Grund, weshalb diese Variante der Quadratur, die des Öfteren im Netz gezeigt wird, bisher zu keinem (mathematisch) befriedigenden Ergebnis führen konnte.

Aber es gibt noch einen weiteren, ganz entscheidenden Ansatz in dieser geometrischen Konstellation, der die Art und Weise der Suche nach Erkenntnis charakterisiert:
Allein dadurch, dass der Kreis auf die Grundseite gesetzt wird, entsteht der Proportionalitätseffekt. Hier bedeutet das, dass sämtliche Linien, die vom großen Zeh strahlenförmig nach oben führen, oder zur Seite hin eingezeichnet werden, für jede Geometrie innerhalb des Quadrates proportional identisch sind. Beispielsweise würde ein beliebig großes Quadrat, welches auf der Grundseite platziert wird, immer die einmal positionierte Halbdiagonale nutzen…gleichgültig wie man es verkleinert, oder vergrößert.

Übersetzt bedeutet der Proportionalitätseffekt, dass man das Quadrat, welches da Vinci eingezeichnet hat, frei „zoomen“ kann und zwar so lange, bis ein zuvor festgelegter Schnittpunkt schließlich exakt getroffen wird. Es ist quasi ein „Backward-Planning“ zum vorgegebenen Ziel hin.

Damit hat da Vinci eine Variable zur Hand, die unabhängig von der Grundgeometrie -frei angepasst werden kann. Mit anderen Worten: Es muss nur noch dieser eine Schnittpunkt herauskonstruiert werden, der die bereits zuvor(!) festgelegte Position des 90°-Winkels auf dem Kreisbogen trifft.

*Allgemeine Anmerkung zu ‚Papier‘: Im Zuge dieser Ausarbeitung hat der Autor mehrere Vorlagen im A-Null-Format (1,19m x 0,84m) ausgemessen. Doch es ist schon erstaunlich, bis überraschend, wie sich auch heute noch industriell hergestelltes und glatt gestrichenes Premiumpapier typischer Weise bei Luftfeuchtigkeit verhält. Man kann regelrecht dabei zuschauen, wie das Papier innerhalb eines Tages und über die Jahreszeiten hinweg „arbeitet“, sich also zusammenzieht und ausdehnt. Aber auch „frisch aus dem Drucker gezogen“ braucht eine typische Din-A-4-Seite einige Minuten, bis sie abgekühlt ist und sich der Luftfeuchtigkeit im Raum angepasst hat. Deshalb ist es unter normalen Umständen kaum möglich, Messergebnisse im Zehntel-Millimeterbereich auf Papiervorlagen zu verifizieren. Es sind quasi immer nur gemessene „Momentaufnahmen“ -und damit schließlich Durchschnittswerte.